Apresentar o método Quadratura Gauss-Legendre e sua aplicação em R.
Será feita uma breve explicação sobre o tema e em seguida sua aplicação em R.
Utilizada para função densidade de probabilidade, amplamente difundida por associar de forma satisfatórioa as curvas de frequências de medidas físicas. Essa função possui 2 parâmetros, que descrevem seu grau de dispersão: - Média (μ) -Variância (σ^2) A função densidade de probabilidade é dada por: \[fx(x)=\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}e^\frac{-1}{2}(\frac{x-μ}{σ})^2\]
Para X~N(μ,σ^2)
A fórmula geral da quadratura Gauss-Legendre é dada por:
\[\int_{a}^{b}g(x)=\int_{a}^{b}w(x)f(x)dx≈\sum_{k=1}^{s}Wkf(xk)\]
Definindo o integrando como g(x)=w(x)f(x) e w(x) como a função peso na fórmula gaussiana.
Determinando o conjunto {xk,wk}, nós e pesos, valida-se a expressão para qualquer polinômio de grau ≤ s e exata para polinômios de grau ≤ 2s − 1. Os nós e pesos são definidos utilizando a função:
SMR:::GaussLegendre(s)
Após isso, se determinarmos g(xk) = f(xk), isto é, a função de interesse aplicada nos nós (xk).
E, finalmente, calcula-se:
\[\int_{-1}^{1}f(x)dx≈\sum_{k=1}^{s}Wk g(Xk)\]